本书从数学知识的本质理解和数学思维方法两个维度，对高中数学学习中“函数与导数”、“解析几何”两大难点进行剖析，并给出了两类问题的求解策略，这些策略不但可以从根本上突破求解这两类问题的瓶颈，而且对全面提升高考数学能力有极大的帮助。
本书作为作者多年教育教学经验的总结，希望给学生在高考备考、自主招生备考和数学竞赛等方面提供切实的帮助，同时，也希望对高中数学教师的解题教学起到抛砖引玉的作用。

杨林军，正高级教师，特级教师，高中数学教研员，主要从事中学数学教育教学与教师专业发展研究。在高考数学能力研究方面有较多成果，曾受邀到多地进行教师培训与学生高考指导，在《数学通报》、《中学数学教学参考》等核心期刊发表论文二十多篇。

目录

**章 解题目，为什么

第1节 解题目，为什么……………………………………………………………1

第2节 基于知识理解与思维方法的数学解题 ………………………………5

第二章 函数问题的解题策略

第1节 函数概念理解与数学思维方法对数学解题的影响………………………14

第2节 对基本函数图像与性质的理解……………………………………………18

第3节 高考函数综合问题解题策略………………………………………………36

第4节 自主招生与竞赛中的函数综合问题………………………………………48

第三章 平面解析几何问题解题策略

第1节 解析几何两大问题的基本思路与方法……………………………………64

第2节 解决解析几何综合问题的三个关键………………………………………74

第3节 解析几何中的定值问题……………………………………………………89

第4节 解析几何综合问题求解的基本思路………………………………………96

第5节 自主招生与竞赛中的解析几何问题………………………………………103

第四章 自主招生与竞赛中的数学思维方法

第1节 观察…………………………………………………………………………112

第2节 归纳…………………………………………………………………………121

第3节 类比…………………………………………………………………………132

第4节 化归…………………………………………………………………………144

第5节 辨证思维方法………………………………………………………………152

数学学习离不开解题，中学阶段的数学学习更是如此，但是，并不是做的题越多解题能力就越强。美国数学教育家柯朗在一百多年前就指出：“两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识．但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任．数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考．那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学．”在目前的高考备考过程中，试图通过大量、重复、机械练习提高成绩的做法屡见不鲜。我们应该采取怎样的措施，才能通过解尽可能少的题目促进学生对数学知识的理解，并提高数学分析问题、解决问题的能力呢？

不妨让我们回归本源去思考，即解题目，为什么？章建跃博士曾指出：“加深对概念的理解，掌握基础知识和基本技能；梳理一类问题的通法；学会思考，培养和发展数学能力，特别是数学思维能力是解题的基本目标”，反之，要提高数学解题能力，如果从加深对数学知识的本质理解、学会如何基于问题进行数学思考等角度入手，就能够避免“题海战术”，通过解尽可能少的题目达成提高数学解题能力的目的。

例如，已知函数的值域为，且不等式的解集为，求的值．显然，这是一道求参数c的值的问题，从宏观策略上讲，这类问题有两个思路：一是由已知条件建立关于c的方程，通过解方程，求出c的值；二是，若参数c具有几何意义，可考虑通过数形结合，获得问题的答案．如果用思路一解决，利用值域为，可得①；由的解集为，可得关于的方程的两根为m和，消去参数，得②，将①②联立，解得，这种做法也可以叫做通法．如果从对知识理解的角度重新审视这道题，我们几乎能“看”出答案。这是由于二次函数的值域为，而函数值域的几何含义是函数图像在轴上的“投影”，所以，将函数图像左右平移并不影响函数的值域。不等式的解集为，此解集的区间端点虽然都含有参数，但区间的长度却为定值6，故问题转化为c为何值时，直线被抛物线截得的线段长为6，又由于二次函数与“全等”，且值域相同，问题等价于直线被抛物线截得的线段长为6时，的值等于多少？数形结合，易得．这个解法之所以能“看出”答案，得益于对三个概念的本质理解，一个是值域，从几何角度把它理解为函数图像在y轴上的投影，换句话讲，函数图像左右平移对其值域没有影响，这就是变化中的不变性，利用这个不变性，就为问题的转化提供了更多的维度；第二个是解集为，由于解集含有参数，从表面上看区间是变化的，但区间长度是6却是不变的，这也是找到了变化中的不变性；第三是对二次函数的理解，我们知道，函数的图像是通过平移得到的，也就是平移前后的图像的形状与大小是一样的，所以是 “全等”的。实际上，对称与旋转变换也具有这种性质，当遇到距离或面积等问题时，利用这种不变性就可以将复杂问题转化为简单问题．这样看来，这个解法并不需要什么技巧，而是需要对题目中每一个概念理解得更深一些。试想，如果一味地刷题，而不是把解题的重心放在概念的理解上，那么，做再多的题，解题能力也很难有实质性地提高．

再比如，在平面直角坐标系中，已知，，．若是三角形ABC区域内（包括边界上）的一点，求xy的**值．此题对学生而言是一个陌生的问题，因为此前学习的这类最值目标函数大多都是线性的，例如，等，如何才能找到解题思路呢？----类比！既然都是二元函数的最值问题，虽然形式上不同，但在方法上一定有相近的地方，对于形如，的目标函数，我们是通过引入参数，令，利用的几何意义直观求解的。对于，我们同样引入参数，令，即，这是学生熟悉的反比例函数，图象为等轴双曲线，此时，问题转化为“当双曲线沿着对称轴远离双曲线中心，且与三角形区域有公共点时k的**值”，结合图形直观，当双曲线经过与线段BC交点时k**，从而顺利求解。在这里，基于问题，通过模式识别的思维方法与“类比”的思维方法在寻找解题思路的过程中起到了至关重要的作用，因此，注重思维方式、方法对提升解题能力至关重要。

本书正是从对数学知识的本质理解和数学思维方法这两个角度出发，对于中学数学中的函数与导数、解析几何两大类难点问题进行解析，并给出了两类问题的求解策略，从而从根本上避免了通过大量做题来提升能力的低效方法。同时，按照这两个维度，在不增加额外知识（以现有高考知识储备）的条件下，还可以较为顺利解决自主招生与竞赛中的相关问题。本书作为作者多年教学经验的总结，希望能给学生在高考备考、自主招生和竞赛等方面提供切实的帮助，同时，也希望本书对教师的解题教学起到抛砖引玉的作用。

本书作为个人经验的积累，有些观点和解法难免有一些偏颇之处，肯请读者提出批评与建设性建议，以便不断改进。

杨林军