本书是一本的现代教材，给出新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和小二乘法、对称矩阵和二次型、向量空间的几何学等。此外，本书包含大量的练习题、习题、例题等，便于读者参考。

戴维· C. 雷（David C. Lay） 在美国加利福尼亚大学洛杉矶分校获得硕士和博士学位。他是马里兰大学帕克学院数学系教授，同时还是阿姆斯特丹大学、阿姆斯特丹自由大学和德国凯泽斯劳滕大学的访问教授。Lay教授是“线性代数课程研究小组”的核心成员，发表了30多篇关于泛函分析和线性代数方面的论文，并与他人合著多部数学教材。

史蒂文·R. 雷（Steven R. Lay） 拥有加州大学洛杉矶分校数学硕士和博士学位，于1971年在奥罗拉大学开始了他的教学生涯，目前任职于李大学数学系。1985年，Steven获得了奥罗拉大学的**教学奖。2006年，Steven荣获李大学的奖。

朱迪·J. 麦克唐纳（Judi J. McDonald） 拥有威斯康星大学数学硕士和博士学位，目前是华盛顿州立大学的教授。Judi获得了三项教学奖：里贾纳大学的启发式教学奖、托马斯卢茨艺术学院的启发式教学奖以及华盛顿州立大学的科学教学奖。

目 录

译者序
前言
给学生的注释
关于作者　
第1章 线性代数中的线性方程组1
介绍性实例 经济学与工程中的线性模型1
1.1 线性方程组2
1.2 行化简与阶梯形矩阵12
1.3 向量方程23
1.4 矩阵方程34
1.5 线性方程组的解集42
1.6 线性方程组的应用49
1.7 线性无关55
1.8 线性变换介绍62
1.9 线性变换的矩阵71
1.10 商业、科学和工程中的线性模型81
补充习题90
第2章 矩阵代数93
介绍性实例 飞机设计中的计算机模型93
2.1 矩阵运算94
2.2 矩阵的逆103
2.3 可逆矩阵的特征112
2.4 分块矩阵117
2.5 矩阵因式分解123
2.6 列昂惕夫投入产出模型132
2.7 计算机图形学中的应用137
2.8 (n的子空间145
2.9 维数与秩153
补充习题160
第3章 行列式162
介绍性实例 随机过程和畸变162
3.1 行列式介绍163
3.2 行列式的性质168
3.3 克拉默法则、体积和线性变换176
补充习题184
第4章 向量空间187
介绍性实例 空间飞行与控制系统187
4.1 向量空间与子空间188
4.2 零空间、列空间和线性变换197
4.3 线性无关集和基206
4.4 坐标系214
4.5 向量空间的维数223
4.6 秩229
4.7 基的变换236
4.8 差分方程中的应用242
4.9 马尔可夫链中的应用251
补充习题260
第5章 特征值与特征向量263
介绍性实例 动力系统与斑点猫头鹰263
5.1 特征向量与特征值264
5.2 特征方程271
5.3 对角化278
5.4 特征向量与线性变换285
5.5 复特征值292
5.6 离散动力系统298
5.7 微分方程中的应用307
5.8 特征值的迭代估计315
补充习题321
第6章 正交性和最小二乘法325
介绍性实例 北美地质资料和GPS导航325
6.1 内积、长度和正交性326
6.2 正交集334
6.3 正交投影343
6.4 格拉姆-施密特方法350
6.5 最小二乘问题356
6.6 线性模型中的应用365
6.7 内积空间373
6.8 内积空间的应用381
补充习题387
第7章 对称矩阵和二次型390
介绍性实例 多波段的图像处理390
7.1 对称矩阵的对角化391
7.2 二次型397
7.3 条件优化404
7.4 奇异值分解411
7.5 图像处理和统计学中的应用421
补充习题428
第8章 向量空间的几何学430
介绍性实例 柏拉图多面体430
8.1 仿射组合431
8.2 仿射无关性438
8.3 凸组合448
8.4 超平面454
8.5 多面体462
8.6 曲线与曲面474
附录A 简化阶梯形矩阵的**性485
附录B 复数486
术语表491
奇数习题答案506

前 言　　学生和教师对本书前四个版本的反响十分令人满意. 第5版在第4版的基础上为课程教学和软件技术应用提供了更多支持. 像以前一样，本书给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，使得已完成大学两个学期数学课程（如学完微积分）的学生容易接受.　　本书的主要目的是帮助学生掌握以后课程学习所需要的基本概念和基本技能. 教材的主题是根据“线性代数课程研究小组”的建议选择的，该建议基于认真分析学生的实际需要和许多不同专业使用线性代数知识的共同点而提出. 希望这门课能够成为本科生最有用和最有趣的数学课程之一.新增内容　　本版的主要目的是修订习题，进行技术上的改进，并为概念的学习提供更多支持.　　1）对第5版的支持是由MyMathLab提供的. MyMathLab是世界领先的数学在线资源，以灵活、易于使用的格式将交互式作业、评估和媒体整合在一起. 学生在线提交作业，获得即时反馈、支持和评估. 这个系统对计算技能特别有效. 许多额外的资源也是由MyMathLab网站提供的.　　2）第5版提供了交互式电子格式文本，使用由Wolfram提供的一个免费数学播放器CDF，学生可以看到交互式图形，可以通过查看数值例子用矩阵进行实验，只需点一下按钮. 通过这些交互式图形，线性代数的几何结构变得生动起来. 通过实验鼓励学生做出猜想，然后通过相关理论和证明，验证他们的观察是正确的. 交互资源让学生有机会去接触数学对象和思想，就像做研究一样. Wolfram CDF播放器也能在课堂演示中使用.　　3）第5版提供了对概念学习和证明学习的额外支持，增加了概念练习题及其解答，现在大多数章节都有一个证明或概念的例子供学生复习. 额外的指导也被加入书中一些定理的证明中.　　4）超过25%的习题是新增或修改的，尤其是计算习题. 习题的设置仍然是这本书最具特色的内容之一，并且新习题保持着与前四版一样的高标准. 精选的习题用于复习每个章节所学的内容，激发学生的学习兴趣，开拓新的思路，培养他们的自信心.鲜明的特色　　提前介绍重要概念　　本书前7章介绍了许多建立在( n上的线性代数基本概念，然后从不同的观点逐步深入讨论. 接下来，用第1章给出的熟悉思想的自然扩展来泛化这些概念. 我们认为，本教材的主要特色是全书的难度一样.　　矩阵乘法的现代观点　　好的记号是关键，且教材反映了科学家和工程师实际应用线性代数的方式. 本书在定义和证明中处理的是矩阵的列，而不是矩阵的元素，核心课题是将矩阵向量乘积Ax作为关于A的列的一个线性组合. 这种现代方法简化了许多论述，且将向量空间思想和线性方程组的研究联系在一起.　　线性变换　　用线性变换作为线索贯穿整本教材，增强了本书的几何趣味. 例如，在第1章，线性变换给出一个动态的、几何观点下的矩阵向量乘法.　　特征值和动力系统　　特征值的概念出现在第5章和第7章. 由于这一内容分散在数周的教学中，学生会比平常更容易吸收和复习这些关键概念. 特征值来源并应用于离散动力系统和连续动力系统，相关内容出现在1.10节、4.8节、4.9节和第5章的五节中. 在授课时可以选择不讲授第4章，而是在讲完2.8节和2.9节的内容以后直接进入第5章的学习. 这两节可选的学习内容给出了第4章中出现的向量空间的概念，为第5章的学习奠定了基础.　　正交性和最小二乘法　　与普通入门教材相比，本书对这些主题的讨论更全面. “线性代数课程研究小组”强调需要正交性和最小二乘问题的内容，这是由于正交性在计算机计算和线性代数的数值计算中起着重要作用，且实际工作中经常会出现不相容的线性方程组.教学的特色　　应用　　广泛选取的应用说明了线性代数的作用，线性代数可以用于在工程学、计算机科学、数学、物理学、生物学、经济学和统计学中解释基本原理和简化计算. 一些应用出现在单独的章节中，其他的应用是作为例题和习题而引入的. 此外，每一章的开头给出一个线性代数应用的简短介绍，由此引出数学理论的发展. 然后，在该章结束的部分又回到开始提到的应用.　　重点强调几何特点　　由于许多学生更容易接受形象化的概念，所以对书中的每个主要概念都给出几何解释. 本书包含较多的几何图形，且一些图形是以前的线性代数教材中没有出现过的. 这些图形的交互版本出现在本书的电子版中.　　例题　　与大多数线性代数教材相比，本书有更多的例题，比平常课堂上更多. 由于例题清晰，步骤详细，因此学生可以自学.　　定理和证明　　重要的结果以定理的形式给出，其他有用的事实放在方框中，便于参考. 大多数定理有正式证明，写法易于理解. 在少数情形中，仔细选取的例题证明中展示了基本计算过程. 一些常规的验证保留在习题中，这对学生是有益的.　　练习题　　在习题之前有几个仔细选取的练习题，其解答在习题之后给出. 这些练习题或者集中于习题中的潜在难点，或者给出做习题前的热身，且解答常包含有用的提示.　　习题　　提供的大量习题包含平常的计算题和需要深入思考的概念题，一些习题针对多年来我们在学生作业中发现的概念难点. 每一个习题都按照课本中内容的顺序仔细排列，这样当每节的一部分内容讲授之后，就可以安排家庭作业. 习题的一个显著特色